اعداد کوانتومی

در بررسی ساختار اتم مدل های مختلفی ارائه شده است. ابتدا یی ‌ترین ین مدلها ، مدل سیاره‌ ای رادرفورد است. بعد از مدل سیاره‌ی رادرفورد ، نیلز بوهر مدل جدیدی را ارائه داد (مدل اتمی بوهر).

این مدل می‌‌توانست ساختار طیفی اتم هیدروژن را توضیح دهد. در اصل موضوع بوهر که اساس و مبنی مدل بوهر است، فرض می‌‌شود که الکترونها مقیدند در مداری حرکت کنند که در آنها اندازه حرکت الکترون مضرب درستی از h/2π باشد که h ثابت پلانک است.

همچنین در این مدل فرض می‌‌شود که ترازهی انرژی کوانتیده‌اند. بعدها که ساختار طیف مربوط به عناصر مختلف مورد توجه قرار گرفت، انرژی هر الکترون در اتم با یک سری اعداد که به عنوان اعداد کوانتومی معروف هستند، مشخص کردند.

اعداد کوانتومی اصلی:

گفتیم که ترازهی انرژی در اتم گسسته هستند. این امر به ین معنی است که اگر اتم توسط تابش الکترومغناطیسی بمباران شود، تابش توسط الکترونها جذب می‌‌شود. لذا الکترونها از ترازهی اولیه یا پیه خود تحریک شده و به ترازهی برانگیخته می‌‌روند، اما چون ین حالت یک حالت ناپیدار است، لذا الکترون با گسیل تابش از تراز برانگیخته به تراز اولیه خود برمی‌‌گردد. مقدار انرژی جذب شده یا گسیل شده متناسب با فاصله ترازهی انرژی است ، یعنی اگر انرژی تراز اولیه را با E و انرژی تراز برانگیخته را با ΄E مشخص کنیم ، در ین صورت فرکانس نور گسیل شده یا تحریک شده از رابطه E - E΄ = hv حاصل می‌‌شود. از طرف دیگر ، چون طبق اصل موضوع بوهر ، اندازه حرکت الکترون بید مضرب صحیحی از h/2π باشد، بنابرین اگر با تقریب مدار حرکت الکترون به دور هسته را دیره‌ی به شعاع r فرض کنیم، در ین صورت nh/2π خواهد بود که در ین رابطه v سرعت الکترون و m جرم آن است.

همچنین با توجه به ین که نیروی وارد شده از طرف هسته بر الکترون نیروی مرکزی است، لذا اگر بار هسته را برابر ze بگیریم که در آن z عدد اتمی است، مقدار نیروی وارد بر الکترون برابر ze2/r2 = mv2/r خواهد بود. از ترکیب ین روابط می‌‌توان مقدار انرژی الکترون در هر تراز اتمی را بدست آورد. در ین صورت انرژی از رابطه: E = 1/2mc2/(zα)2 بدست می‌ید که در ین رابطه α مقدار ثابتی است که برابر α = 1/137 e2/ћc بوده و ثابت ساختار ریز نامیده می‌‌شود. مقدار n که در رابطه انرژی ظاهر شده است، عدد کوانتومی اصلی نامیده می‌‌شود. البته می‌‌توان مقدار انرژی الکترون در هر تراز را از حل معادله شرودینگر محاسبه کرد. در ین صورت نیز رابطه انرژی الکترون در هر تراز برحسب یک عدد کوانتومی که به عدد کوانتومی اصلی معروف است، مشخص می‌‌شود.

عدد کوانتومی اندازه حرکت زاویه‌ی مداری:

فظریه اتم تک الکترونی بوهر عدد کوانتومی اصلی n را معرفی می‌‌کند که مقدار درست آن انرژی کل اتم را مشخص می‌‌کند. عدد کوانتومی n که یک عدد صحیح و مثبت است، بزرگی اندازه حرکت زاویه‌ی الکترون به دور هسته را بر اساس اصل موضوع بوهر ، طبق رابطه L = nћ مشخص می‌‌کند. ћ عدد ثابتی است که بصورت نسبت ثابت پلانک بر عدد 2π تعریف می‌‌شود، اما از دیدگاه مکانیک موجی درست نیست که بری الکترون یک مسیر مشخص دیره‌ی یا شکل دیگری را در نظر بگیریم. (اصل عدم قطعیت مانع ین کار است) و نیز از ین دیدگاه قاعده بوهر در مورد کوانتش بزرگی اندازه حرکت زاویه‌ی درست نیست. بر خلاف نظریه کلاسیک ، مکانیک موجی نشان می‌‌دهد که بزرگی اندازه حرکت زاویه‌ی مداری (L) یک دستگاه اتمی کوانتیده است و مقادیر ممکن آن می‌‌تواند از رابطه: L = (l(l + 1))1/2ћ بدست ید. در ین رابطه l عدد صحیحی است که عدد کوانتومی ‌اندازه حرکت زاویه‌ی مداری نامیده می‌‌شود.

برای مقدار مفروض از عدد کوانتومی ‌اصلی n ، مقادیر ممکن l ، اعداد درست از صفر تا n - 1 خواهد بود. به عنوان مثال ، اگر n = 2 باشد، در ین صورت l می‌‌تواند مقادیر (1,0) را اختیار کند. در نمادگذاری ترازها هر مقدار از l با یک حرف مشخص می‌‌شود. در ین نمادگذاری مقدار l = 0 با حرف S و l = 1 با حرف l = 2 ، P با حرف D وغیره مشخص می‌‌شود.

چون انرژی فقط برحسب عدد کوانتومی ‌اصلی مشخص می‌‌شود، بنابرین در مورد تک الکترونی که تحت تأثیر یک نیروی کولنی از جانب هسته است و در تراز n = 3 قرار دارد، هر سه حالت l = 0 , 1 , 2 داری انرژی یکسانی خواهند بود.

اعداد کوانتومی ‌مغناطیسی مداری:

گفتیم که الکترون در اثر نیرویی که از طرف هسته بر آن وارد می‌‌شود، حول هسته می‌‌چرخد. چون الکترون یک ذره باردار است، بنابرین مدار الکترون را می‌‌توان یک مدار مغناطیسی در نظر گرفت. بری ین مدار مغناطیسی و در واقع بری الکترون می‌‌توان یک گشتاور دو قطبی مغناطیسی تعریف نمود. ین کمیت بر اساس اندازه حرکت زاویه‌ی مداری الکترون تعریف می‌‌شود. یعنی از رابطه μ = eL/2m حاصل می‌‌شود که در آن μ گشتاور دو قطبی مغناطیسی است. حال اگر یک میدان مغناطیسی خارجی اعمال شود، در ین صورت میدان سعی می‌‌کند تا گشتاور دو قطبی مغناطیسی و به تبع آن L را در راستی میدان قرار دهد، اما در مکانیک موجی بردار اندازه حرکت زاویه‌ی مداری L نمی‌‌تواند هر جهتی را نسبت به میدان مغناطیسی اختیار کند، بلکه محدود به جهتهی به خصوصی است که بری آن مؤلفه بردار اندازه حرکت زاویه مداری ، در راستی میدان مغناطیسی ، مضرب دستی از ћ باشد. بنابرین اگر جهت میدان مغناطیسی را در راستی محور z اختیار کنیم، در ین صورت مؤلفه z بردار L از رابطه Lz = ml ћ حاصل می‌‌شود. در ین رابطه ml عدد کوانتومی ‌مغناطیسی مداری است. به ازی یک مقدار مفروض l ، m_l می‌‌تواند مقادیر زیر را اختیار کند: {ml ={1 , l - 1 , l - 2 , … , 0 , … , - l

عدد کوانتومی ‌مغناطیسی اسپینی:

در نظریه کوانتومی ‌سه ثابت فیزیک کلاسیک مربوط به حرکت ذره‌ی که تحت تأثیر جاذبه عکس مجذوری قرار دارد، کوانتیده‌اند. ین سه ثابت عبارتند از: انرژی ، بزرگی اندازه حرکت زاویه‌ی مداری ، مؤلفه اندازه حرکت زاویه‌ی مداری در یک جهت ثابت از فضا. در مکانیک کوانتومی ‌به ین ثابتهی حرکت اعداد کوانتومی n و l و ml نسبت داده می‌‌شوند، اما علاوه بر ین سه عدد کوانتومی ، عدد کوانتومی ‌دیگری به نام عدد کوانتومی ‌اسپینی که به مفهوم اسپین الکترون مربوطاست،معرفیمی‌‌شود. در سال 1925/1304 گود اسمیت و اوهلن یک اظهار داشتند که یک اندازه حرکت زاویه‌ی ذاتی ، کاملا مستقل از اندازه حرکت زاویه‌ی مداری ، به هر الکترون وابسته است.

ین اندازه حرکت ذاتی ، اسپین الکترون نامیده می‌‌شود. چون می‌‌توان آن را با اندازه حرکت ذاتی که هر جسم گسترده بر اساس دوران یا اسپین حول مرکز جرم خود دارد، مانسته داشت. البته لازم به توضیح است که در مکانیک موجی تلقی الکترون به عنوان یک کره ساده با بار الکتریکی صحیح نیست، بلکه صرفا به خاطر مشخص کردن اندازه حرکت زاویه‌ی اسپینی الکترون به کمک مدل قابل تجسم ، بهتر است که آن را به عنوان جسمی که در فضا داری گسترش است و بطور پیوسته حول یک محور به دور خود می‌‌چرخد، فرض کنیم. مانند اندازه حرکت زاویه‌ی مداری در ینجا نیز می‌‌توانیم یک گشتاور مغناطیسی مربوط به حرکت اسپینی الکترون در نظر بگیریم. چنانچه یک الکترون ، با گشتاور مغناطیسی دائمی خود ، در یک میدان مغناطیسی قرار گیرد، انتظار می‌‌رود که اسپین آن کوانتیده فضیی باشد، یعنی گشتاور مغناطیسی اسپینی و اندازه حرکت زاویه‌ی اسپینی به سمت گیری‌هی خاصی محدود خواهند بود.

بنابرین اگر میدان مغناطیسی در راستی محور z فرض شود، در ین صورت مؤلفه اندازه حرکت زاویه‌ی اسپینی Lsz در جهت ین میدان از رابطه Lsz = msћ حاصل خواهد شد. در ین رابطه ms عدد کوانتومی ‌مغناطیسی اسپینی نامیده می‌‌شود. از آنجا که الکترون از دسته فرمیونها می‌‌باشد، بنابرین داری اسپین نیم فرد خواهد بود، لذا عدد کوانتومی ms فقط می‌‌تواند دو مقدار ممکن 2/1+ و 2/1- را اختیار کند.

منبع : http://www.fadak.us/A.database/Physics/Learn/L.002/A.0058.htm

اعداد کوانتومی ‌مغناطیسی مداری

 الکترون در اثر نیرویی که از طرف هسته بر آن وارد می‌‌شود، حول هسته می‌‌چرخد. چون الکترون یک ذره باردار است، بنابراین مدار الکترون را می‌‌توان یک مدار مغناطیسی در نظر گرفت. برای این مدار مغناطیسی و در واقع برای الکترون می‌‌توان یک گشتاور دو قطبی مغناطیسی تعریف نمود. این کمیت بر اساس اندازه حرکت زاویه‌ای مداری الکترون تعریف می‌‌شود. یعنی از رابطه μ = eL/2m حاصل می‌‌شود که در آن μ گشتاور دو قطبی مغناطیسی است.

حال اگر یک میدان مغناطیسی خارجی اعمال شود،

حال اگر یک میدان مغناطیسی خارجی اعمال شود، در این صورت میدان سعی می‌‌کند تا گشتاور دو قطبی مغناطیسی و به تبع آن L را در راستای میدان قرار دهد، اما در مکانیک موجی بردار اندازه حرکت زاویه‌ای مداری L نمی‌‌تواند هر جهتی را نسبت به میدان مغناطیسی اختیار کند، بلکه محدود به جهتهای به خصوصی است که برای آن مؤلفه بردار اندازه حرکت زاویه مداری ، در راستای میدان مغناطیسی ، مضرب دستی از ћ باشد. بنابراین اگر جهت میدان مغناطیسی را در راستای محور z اختیار کنیم، در این صورت مؤلفه z بردار L از رابطه L_z = m_l ћ حاصل می‌‌شود. در این رابطه m_l عدد کوانتومی ‌مغناطیسی مداری است. به ازای یک مقدار مفروض l ، m_l می‌‌تواند مقادیر زیر را اختیار کند:

{m_l ={ l , l - 1 , l - 2 , … , 0 , … , - l

اعدد کوانتومی ‌مغناطیسی اسپینی

در نظریه کوانتومی ‌سه ثابت فیزیک کلاسیک مربوط به حرکت ذره‌ای که تحت تأثیر جاذبه عکس مجذوری قرار دارد، کوانتیده‌اند. این سه ثابت عبارتند از: انرژی ، بزرگی اندازه حرکت زاویه‌ای مداری ، مؤلفه اندازه حرکت زاویه‌ای مداری در یک جهت ثابت از فضا. در مکانیک کوانتومی ‌به این ثابتهای حرکت اعداد کوانتومی n و l و m_l نسبت داده می‌‌شوند، اما علاوه بر این سه عدد کوانتومی ، عدد کوانتومی ‌دیگری به نام عدد کوانتومی ‌اسپینی که به مفهوم اسپین الکترون مربوط است، معرفی می‌‌شود.

در سال 1925/1304 گود اسمیت و اوهلن یک اظهار داشتند که یک اندازه حرکت زاویه‌ای ذاتی ، کاملا مستقل از اندازه حرکت زاویه‌ای مداری ، به هر الکترون وابسته است. این اندازه حرکت ذاتی ، اسپین الکترون نامیده می‌‌شود. چون می‌‌توان آن را با اندازه حرکت ذاتی که هر جسم گسترده بر اساس دوران یا اسپین حول مرکز جرم خود دارد، مانسته داشت. البته لازم به توضیح است که در مکانیک موجی تلقی الکترون به عنوان یک کره ساده با بار الکتریکی صحیح نیست، بلکه صرفا به خاطر مشخص کردن اندازه حرکت زاویه‌ای اسپینی الکترون به کمک مدل قابل تجسم ، بهتر است که آن را به عنوان جسمی که در فضا دارای گسترش است و بطور پیوسته حول یک محور به دور خود می‌‌چرخد، فرض کنیم.  

مانند اندازه حرکت زاویه‌ای مداری در اینجا نیز می‌‌توانیم یک گشتاور مغناطیسی مربوط به حرکت اسپینی الکترون در نظر بگیریم. چنانچه یک الکترون ، با گشتاور مغناطیسی دائمی خود ، در یک میدان مغناطیسی قرار گیرد، انتظار می‌‌رود که اسپین آن کوانتیده فضایی باشد، یعنی گشتاور مغناطیسی اسپینی و اندازه حرکت زاویه‌ای اسپینی به سمت گیری‌های خاصی محدود خواهند بود.

بنابراین اگر میدان مغناطیسی در راستای محور z فرض شود، در این صورت مؤلفه اندازه حرکت زاویه‌ای اسپینی L_sz در جهت این میدان از رابطه L_sz = m_sћ حاصل خواهد شد. در این رابطه m_s عدد کوانتومی ‌مغناطیسی اسپینی نامیده می‌‌شود. از آنجا که الکترون از دسته فرمیونها می‌‌باشد، بنابراین دارای اسپین نیم فرد خواهد بود، لذا عدد کوانتومی m_s فقط می‌‌تواند دو مقدار ممکن 2/1+ و 2/1- را اختیار کند.

http://dianat124.blogsky.com/1391/05/16/post-935/